\section{Der Hilbert'sche Nullstellensatz}
\begin{Satz}[Hilbert'scher Nullstellensatz]
\label{Satz5}
Sei $K$ ein Körper und $\mathfrak{m}$ ein maximales Ideal in $K[X_1, \dots,
X_n]$.\\
Dann ist $L \defeqr \FakRaum{K[X_1, \dots, X_n]}{\mathfrak{m}}$ eine
algebraische Körpererweiterung von $K$.
\end{Satz}
\begin{Bew}
Für $n=1$ ist das aus Algebra I bekannt. Nimm das als Induktionsanfang einer
vollständigen Induktion nach $n$.
$L$ wird als $K$-Algebra erzeugt von den Restklassen $x_1, \dots, x_n$ der
$X_1, \dots, X_n$. Wenn $x_1, \dots, x_n$ algebraisch über $K$ sind, so auch
$L$. Wir nehmen an, dass sei nicht der Fall, sei also ohne Einschränkung
$x_1$ transzendent über $K$.
Da $L$ Körper, liegt $K' \defeqr K(x_1)$ in $L$, so dass $L \subset K'[X_1,
\dots, X_n]$ ein Faktorring von $K'[X_1, \dots, X_n]$ nach einem maximalen
Ideal ist.
$\overset{\text{I.V.}}{\Rightarrow} x_2, \dots, x_n$ sind algebraisch über $K'
\Rightarrow \exists a_{i \nu} \in K'=K(x_1)$ mit $x_i^{n_i} + \sum_{\nu =
0}^{n_i -1} a_{i \nu} x_i^{\nu} = 0$ für $i = 2, \dots, n$.
Nennen wir den Hauptnenner der $a_{i \nu}$ von nun $b \in K[X_1]$ $\Rightarrow$
$x_2, \dots, x_n$ sind ganz über $K[x_1, b^{-1}] \defeql R$.
\textbf{Beh.:} $R$ ist Körper.\\
\textbf{denn:} Sei $a \in R \setminus \{0\}$ und $a^{-1}$ das Inverse von $a$
in $L$. Da $L$ ganz über $R$ ist, gibt es $\alpha_0, \dots, \alpha_{m-1} \in
R$ mit $(a^{-1})^m + \sum_{i = 0}^{m-1} \alpha_i (a^{-1})^i = 0$ $\overset{
\cdot a^m}{\Rightarrow}$ $1 = -\sum_{i=0}^{m-1} \alpha_i a^{m-i} = a
(-\sum_{i=0}^{m-1} \alpha_i a^{m-i-1})$ $\Rightarrow$ $R$ ist Körper $\Rightarrow$
Widerspruch! $R$ kann niemals Körper sein.
\end{Bew}
\begin{Def}
Sei $I \trianglelefteq K[X_1, \dots, X_n]$ ein Ideal. Dann heißt die Teilmenge
$V(I) \subseteq K^n$, die durch
$$V(I) \defeqr \{(x_1, \dots, x_n) \in K^n: f(x_1, \dots, x_n) = 0 \; \forall f \in I\}$$
bestimmt ist, die \emp{Nullstellenmenge}\index{Nullstellenmenge} von $I$ in $K^n$.
\end{Def}
\begin{nnBsp}
\begin{enumerate}
\item[1.)] aus der LA bekannt: affine Unterräume des $K^n$ sind
Nullstellenmenge von linearen Polynomen.
\item[2.)] Anschaulicher Spezialfall von 1.):\\
Punkte in $K^n: (x_1, \dots, x_n): V(X_1-x_1, X_2 - x_2, \dots,
X_n - x_n)$.
\end{enumerate}
\end{nnBsp}
\begin{BemDef}
\begin{enumerate}
\item \label{2.12a}Für 2 Ideale $I_1 \subseteq I_2$ gilt $V(I_1) \supseteq V(I_2)$.
\item Definiert man für eine beliebige Teilmenge $V \subseteq K^n$ das
\emp{Verschwindungsideal}\index{Verschwindungsideal} von $V$ durch
$$I(V) \defeqr \{ f \in K[X_1,\dots, X_n]: f(x_1, \dots, x_n) = 0 \; \forall (x_1, \dots, x_n) \in V\},$$
so gilt $V \subseteq V(I(V))$;
ist $V$ bereits Nullstellenmenge $V(I)$ eines Ideals $I$ von $K[X_1, \dots, X_n]$,\\
so gilt sogar $V = V(I(V))$.
\end{enumerate}
\end{BemDef}
\begin{Bew}
\begin{enumerate}
\item Sei $x \in V(I_2) \Rightarrow f(x) = 0 \; \forall f \in I_2 \supseteq I_1 \Rightarrow x \in V(I_1)$
\item ''$\subseteq$'': Definition von $V$ und $I$\\
''$\supseteq$'': Sei $V = V(I)$ für $I \trianglelefteq K[X_1, \dots, X_n]$.
Nach Definition $I \subseteq I(V) \overset{\text{\ref{2.12a}}}{\Rightarrow} V(I(V)) \subseteq V(I) = V$
\end{enumerate}
\end{Bew}
\begin{nnSatz}[Schwacher Nullstellensatz]
\label{SatzSchwach}
Ist $K$ algebraisch abgeschlossenen, so ist für jedes echte Ideal $I \trianglelefteq K[X_1, \dots, X_n]: V(I) \not= \emptyset$.
\end{nnSatz}
\begin{Bew}
Sei $I \trianglelefteq K[X_1, \dots, X_n]$ echtes Ideal. Nach Algebra I gibt es dann maximales Ideal $\mathfrak{m} \supseteq I$. Weiter gilt: $V(\mathfrak{m}) \subseteq V(I)$, so können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \mathfrak{m}$ maximal ist.
Nach \myref{Satz}{Satz5} ist $K[X_1, \dots, X_n]/\mathfrak{m}$ eine algebraische Körpererweiterung von $K$.\\
Da $K$ algebraisch abgeschlossen $\Rightarrow K[X_1, \dots, X_n]/\mathfrak{m} \cong K$.\\
Seien nun $x_i$ die Restklasse von $X_i$ in $K[X_1, \dots, X_n]/\mathfrak{m}$ und $x = (x_1, \dots, x_n)$.\\
Für $f \in K[X_1, \dots, X_n]$ ist $f(x) = f(\bar{X_1}, \dots, \bar{X_n}) = \bar{f} \text{ mod } I \Rightarrow f(x) = 0 \forall \; f \in I \Rightarrow x \in V(I)$.
\end{Bew}
\begin{nnSatz}[Starker Nullstellensatz]
Ist $K$ algebraisch abgeschlossen, so gilt für jedes Ideal $I \trianglelefteq K[X_1, \dots, X_n]$:
$$I(V(I)) = \{ f \in K[X_1, \dots, X_n]: \exists d \ge 1: f^d \in I \} \defeql \sqrt[d]{I}$$
\end{nnSatz}
\begin{Bew}[Rabinovitsch-Trick]
Sei $g \in I(V(I))$ und $f_1, \dots, f_m$ Idealerzeuger von $I \trianglelefteq K[X_1, \dots, X_n]$.\\
Zu zeigen: $\exists d \geq 1 \text{ mit } g^d = \sum_{i = 1}^m a_i f_i$ für irgendwelche $a_i$.
Sei $J \subseteq K[X_1, \dots, X_n, X_{n+1}]$ das von $f_1, \dots, f_m, gX_{n+1}-1$ erzeugte Ideal.
\textbf{Beh.:} $V(J) = \emptyset$\\
\textbf{Bew.:} Sei $x = (x_1, \dots, x_n, x_{n+1}) \in V(J)$.
Dann ist $f_i(x') = 0$ für $x' = (x_1, \dots, x_n)$ und $i = 1, \dots, m \Rightarrow x' \in V(I)$.
Nach Wahl von $g \in I(V(I))$ ist also $g(x') = 0$\\
$\Rightarrow$ $(gX_{n+1}-1)(x) = g(x') x_{n+1} - 1 = -1 \not= 0$. $\Rightarrow$ $V(J) = \emptyset$.
Nach schwachen Nullstellensatz ist $J = K[X_1, \dots, X_{n+1}]$\\
$\Rightarrow$ $\exists b_1, \dots, b_m$ und $b \in K[X_1, \dots, X_{n+1}$ mit $\sum_{i=1}^m b_i f_i + b(gX_{n+1} - 1) = 1$.
Sei $R \defeqr R[X_1, \dots, X_{n+1}]/ (gX_{n+1} - 1) \cong K[X_1, \dots, X_n][\frac{1}{g}]$. Unter dem Isomorphismus werden die $f_i$ auf sich selbst, die $b_i$ auf $\tilde{b_i} \in R$ abgebildet $\Rightarrow \sum_{i = 1}^m \tilde{b_i} f_i = 1 \text{ in } R$.
Multipliziere mit dem Hauptnenner $g^d$ der $\tilde{b_i} \Rightarrow \sum_{i = 1}^m \underset{\in K[X_1, \dots, X_n]}{\underbrace{(g^d \tilde{b_i})}} f_i = g^d \Rightarrow I(V(I)) \subseteq \sqrt[d]{I}$.
''$\supseteq$'': klar.
\end{Bew}
